笔趣阁

手机浏览器扫描二维码访问

第697章 选择之上莱因哈特（第3页）

其定义与结构，则可从诸多个方面进行阐述。

首先，莱因哈特基数的定义便是在没有选择公理（Axiomofchoice，简称Ac）的集合论体系ZF公理系统下，存在的一种特殊类型基数。

用数学语言表述，即是存在非平凡初等嵌入j：V→V，crt（j）=k，这个k就是莱因哈特基数。

所以具体来讲，其便是指这个非平凡基本嵌入的临界点crt（j）=k。

其中这个嵌入j是初等的，这也就意味着嵌入前成立的所有真命题会在嵌入后依然成立。

另外那个V，则是指集合论的全类冯诺依曼宇宙，即全部集合的真类。

因而若将这些组合起来更进一步讲述，莱因哈特基数便是涉及到一个非平凡的基本嵌入，这个嵌入会将集合论的全类V映射到自身，并且具备特定的临界点。

这其中，亦存在莱因哈特基数所具备的一种特性——自嵌入性，自身到自身的初等嵌入。

而先前那段话当中的所谓“非平凡嵌入”一词，则是指莱因哈特基数本身，其实就是那基本嵌入的临界点。

至于这临界点用数学语言表述，便是……k是嵌入j的临界点，即对于所有小于k的序数a，有j（a）=a，但j（k）≠k。

然后，这种嵌入会将集合论的全类V映射到其自身，且并非恒等映射——即存在某个集合x继而使得j（x）≠x。

同时，由于嵌入j具有临界点k，这也就意味着对于所有小于k的序数a，都会有j（a）=a，而对于k本身，则会有j（k）＞k。

若细化来说，便是这种嵌入会具有特定的性质，其会将V中的某些元素映射到V中的其他元素，且映射过程中会保持集合的某些结构或性质不变。

其次，由于无法被一阶逻辑语言来描述或定义，所以莱因哈特基数亦具备了不可定义性。

还有，除却这些之外，那真正导致了莱因哈特基数会拥有“0=1”这一名头性质，便是它与那存在有选择公理的标准集合论公理系统ZFc之间的不一致性。

亦可称，库能不一致定理。

此定理的内容，便是在带有选择公理的集合论体系中，不存在一个可将全类V映射到自身的非平凡基本嵌入。

若细致讲来，即是在ZFc系统的整体框架内，不存在可以满足莱因哈特基数定义条件的基数，其必须要在没有选择公理的集合论体系（比如ZF系统）之中才能够成立以及讨论。

之所以如此，却又是因为莱因哈特基数的定义会涉及非平凡的基本嵌入。

根据库能不一致定理，这种嵌入在ZFc公理系统中根本无法成立，或者说会导严重的不一致性，继而催生出种种与已知数学事实相矛盾的结论。

另外除却这一定理，还有其他一些数学结果和推理也表明莱因哈特基数与选择公理在逻辑上压根无法共存，这些反例也进一步支持了两者的不兼容性。

于是，在一个自相矛盾的公理系统（莱因哈特基数+ZFc）当中，自然什么乱七八糟的命题都可以给出迫真证明。

譬如……0=1。

故此，莱因哈特基数才无奈的拥有了所谓“0=1”这种标签名号。

事实上，不仅仅莱因哈特基数会与选择公理，与ZFc公理系统相互矛盾无法兼容。

在其之上那一致性强度更为庞大的伯克利基数、超级莱因哈特基数、无界闭伯克利基数，乃至更更庞大也更更遥远的种种已知未知大基数也是如此。

而会出现这种种矛盾的进一步本质原因，却是因为选择公理的加入，为集合论提供了太多太多的“选择”自由度。

对于这一难题，要么接受ZF+莱茵哈特基数存在公理，不要选择公理；要么接受ZF+选择公理，不要莱茵哈特基数存在公理；要么……建立一个比ZFc更强大的公理系统。

这个扩展升级之后的更高阶公理系统，或许可以包含允许莱茵哈特基数存在的某些额外公理，继而可以容许莱茵哈特基数以及在它之上那更强大基数的成立与存在。

“所以那个所谓的全知高塔……”

翻尽了皮特天王所有记忆的穆苍，悠悠转首“看”向那空茫绝无的失却狭渊，似在“看”向那不知坐落于何方的全知高塔，幽幽道：

“会不会就是一座……可以容纳莱茵哈特基数逻辑构型存在的，更高阶公理系统呢？”