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第69章 恒河沙数 一览无余（第3页）

第三章?位积的计算

根据第一章“位积的概述”，我们了解到了位积的具体定义，要对某数的位积进行计算，我们只要把该数的各位数字相加，然后再把和的各位数相加，直至和为一位数即可。

举例说明，如第一章例1

数875的位积即875∫n-1w=（8+7+5）∫n-1w=20∫n-1w=（2+0）∫n-1w=2（例5）

又例：

数958的位积即958∫n-1w=（9+5+8）∫n-1W=22∫n-1w=（2+2）∫n-1w=4（例6）

掌握了位积计算的一般方法，我们就可以进行简单的位积四则计算了。

第四章??位积计算中数字“9”的零性原则

如果进行长时间的位积计算，我们就可以发现一些有趣的规律，那就是位积计算中的“9”具有和“0”相同的性质。大家都知道，无论任何数加上0，结果仍是原数；无论何数乘以0，结果也绝对是0。而在位积计算中，也有这么一个规律，那就是无论何数加上9，它的位积仍然是该数的位积；无论何数乘以9，它的位积永远是9。（特指自然数）。我们把这种特殊的规律定性为9的零性原则。

例：89∫n-1w=（8+9）∫n-1w=17∫n-1w=（1+7）∫n-1w=8（例7）

8×9∫n-1w=72∫n-1w=（7+2）∫n-1w=9（例8）

其实这种规律可以用简单的方法加以证明，因为9=10-1，在位积计算中10与1的位积相等，所以10-1的位积为0。

第五章?位积定律的具体内容

了解到了位积的定义和一些简单的计算方法，我们再来谈一谈位积定律的具体内容。

位积定律主要是研究四则计算中的一些特殊规律的，它具有以下几种特殊规律。

一、位和定律

什么是位和定律呢？就是指数a的位积与数b的位积的和的位积等于数a和数b的和的位积。（特指自然数）

即：（a∫n-1w+b∫n-1w）∫n-1w=（a+b）∫n-1w；反之也能成立

（a+b）∫n-1w=（a∫n-1w+b∫n-1w）∫n-1w

二、位积定律

什么是位积定律呢？就是指数a的位积与数b的位积的积的位积等于数a与数b的积的位积。（特指自然数）

即：（a∫n-1w.b∫n-1w）∫n-1w=（a.b）∫n-1w；反之也能成立

（a.b）∫n-1w=（a∫n-1w.b∫n-1w）∫n-1w

三、位幂定律

什么是位幂定律呢？就是指数a的m次方的位积等于数a的位积的m次方的位积（特指自然数）即:am∫n-1W=（a∫n-1wm）∫n-1W；反之也能成立。

第六章?位积定律的证明

从第四章中的叙述中，我们了解到了数字“9”在位积计算的零性原则，用公式表示为：

（一）、（9+a）∫n-1w=a∫n-1w;

（二）、（9a）∫n-1w=9；

任意一个多数a均可表示为该数的位积与9的m倍的和，即：a=9m+a∫n-1w（n可为任意整数）

设数a为n位数，它的各位数字分别为A、B、C、D……Z等，那么，a∫n-w=（100……0A+100……0B+100……0C+Z）∫n-1W=9（11……1A+11……1B+Z）∫n-1w+（A+B+C+Z）∫n-1w=（9m+a∫n-1w）∫n-1w;两边同时消去∫n-1w，得出a=9m十a∫n-1w

证明：（a+b）∫n-1w=（a∫n-1w+b∫n-1w）∫n-1w

∵a=9m+a∫n-1w

b=9n+b∫n-1w

∴（a+b）∫n-1w=（9m+a∫n-1w+9n+b∫n-1w）∫n-1W=｛9（m+n）+a∫n-1w+b∫n-1w｝∫n-1w