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附录 将流行病学模型应用于经济叙事（第1页）

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附录将流行病学模型应用于经济叙事

流行病学是医学的一个子领域，它在20世纪取得了最有成效的发展。流行病数学理论是流行病学的最大贡献，它能够有力地揭示观点的流行对经济事件的影响。我们可以用这一理论模拟经济叙事的传播。

疾病传播理论

流行病数学理论最初由苏格兰生物化学家威廉·奥格尔维·克马克（WilliamOgilvyKermack）和苏格兰医师安德森·格雷·麦肯德里克（AndersonGrayMcKendrick）在1927年提出。该理论建立了一个现实的框架来研究传染病动态，可谓是医学思维领域的一场革命。

他们提出的最简易模型将人群分为三个类别：易感者、感染者和康复者。因此，它被称为SIR模型或分区模型。S是易感人群，即并未感染疾病但易受感染人群所占的比例。I是感染这种疾病并具有传染性的人群，即正在传播这种疾病的人群所占的比例。R是已经康复的人群，即已经感染并康复、获得免疫力并且无法再次感染或传播该疾病的人群所占的比例。这个原始模型没有设定有人死亡的情况。百分比之和为100%，100%=S+I+R，人口总数被设定为一个不变的常数。

根据克马克—麦肯德里克的流行病数学理论，在总数恒定的混杂人口中，流行病感染者的增长率等于恒定传染参数c乘以易感人群在总人口中所占比例S和感染人群所占比例I的乘积，再减去恒定康复率r和感染人群所占比例I的乘积。每次有易感者遇到感染者的时候，都有可能被传染。如果人口庞大，传染率最终会达到一个确定的平均值。单位时间内此类碰面的次数取决于易感—感染对的数量，也就是SI的乘积。克马克—麦肯德里克SIR模型的三个方程式是：

该模型没有代数解，只有近似值。化学中也有类似的方程式，它们被称为速率方程或连续化学反应。

[1]化学中常用的速率方程与此处所示的三个方程非常相似，不过前两个方程中的SI在化学方程中仅为一个S。https:bio.libretexts.comTextMapsMap%3A_Biochemistry_Online_（Jakubowski）06%3A_TRANSPORT_AND_KINETICSB._Kineticsof__Simple_and_Enzyme-Catalyzed_ReactionsB2._Multi-Step_Reactions.

这里的S、I和R是放在一起的三种化学物质。举例来说，这个模型可被应用于三个元素放在一起的放射性衰变研究，其中S、I和R是元素的数量，I指中等重量元素，R是最后一个元素，是稳定的元素。这里也有两个相同的参数c和r，S、I和R的图形看起来与此处相似，其中I呈驼峰状，而且会根据c和r的变化表现出快速反应和缓慢反应。但在这个连续化学反应模型中，流行规模始终是100%。化学中还有更多类似的模型，它们涉及化学物质在溶液中配对后的反应。https:.chemguide.co.ukhysicalbasicratesarrhenius.html.

在本书使用的模型中，传染率是cS，即恒定传染参数c和随时间变化的易感人群比例S的乘积。康复率是常数r。如果我们将第二个方程式的两边都除以感染人群所占比例I，就会看到第二个方程式其实就是在说，感染人群的增长率等于传染率cS减去康复（或遗忘）率r。这样的结论是说得通的：要想继续扩散，流行病的传播速度必须快于人们的康复速度，而且从常识来看，传染率理应取决于易感人群所占的比例。

第一个和第三个方程很简单。第一个方程式表明，每有一起新的感染病例，易感者的数量就会减少一人，因为有一名易感者变成了感染者。第三个方程式表明，每有一起新的康复，康复者的数量就会增加一人，因为每有一个人从疾病中康复（在我们的研究中即遗忘一则叙事），就有一名感染者变成了康复者。我们将在下文看到，这个基本模型对流行病传播途径有着深刻的洞见，我们可以对其进行修改，将人口增长和其他很多仅限于某一特定流行病的因素涵盖进来。

图A.1是根据上述三个方程式绘制的一个示例：最初的时候，每100万人口中有一人暴露，即I=0.0001%，参数c=0.5，r=0.05。在这种情况下，几乎100%的人口最终都会被感染。在疾病流行时，公众往往把注意力放在感染者身上，即图中的钟形曲线。人们关注的还有新增病例数，即从易感人群转为感染人群的速度，如果r不是远远低于c的话，它也会遵循类似的钟形曲线。在叙事研究中，我们将把单词和出版物的计数图与图中的感染曲线进行比较。

SIR模型表明，从少量初始感染者开始，感染者的数目基本遵循同样的流行病驼峰模式，先是上升，然后下降。之前某种已经大幅好转的疾病如果发生变异，有可能会产生一个感染新菌株的个体。这种新疾病会滞后一段时间，然后才感染足够多的人并引起公众的关注，如果c值很小，可能会是长时间的滞后。然后该流行病将达到传染高峰。在所有人都被感染之前，该流行病将在感染或康复参数c和r没有出现任何变化的情况下自行回落并结束。

图A.1理论上的流行路线图

注：当I0=0.0001%、c=0.5，r=0.05时，克马克—麦肯德里克SIR模型的数值解。粗线表示感染了疾病并且正在传播疾病的人群占比。该模型假设的是没有医疗干预的情况；即使人口中还有易感人群，流行病也会自行结束，而且并不是每个人都会被感染。

资料来源：作者的计算结果。

并不是所有人都会感染上这种疾病。有些人因为没有与感染者有效接触而逃过一劫。环境慢慢变得越来越安全，因为在感染者康复并产生免疫力的时候，感染者数量就会减少，这样就没有足够的新接触来产生足够的新感染者以保持疾病的蔓延趋势。最终，感染者基本都消失了，整个人口几乎都由易感人群和康复人群组成。将这种模型应用于叙事：并非所有人都会被感染，有些人在经济叙事流行之后会说他们根本没有听说过这则叙事，即使该叙事对经济活动具有重要意义，他们还是会怀疑它对经济的影响力。

是哪些因素共同导致一种重大疾病最终传播至很多人（人口中感染和康复的总比例）呢？疾病的覆盖范围是由cr的比率决定的。在时间区间无限拉长的时候，曾经患病的人群所占的比例达到了绝对小于1的极限值R（即流行病的规模）。根据第一个和第三个方程式，我们可以得出。根据初始感染人群所占比例I的初始条件，即，而且由于I=0，1=S+R，我们就得出了

这个等式给出了疾病最终感染人数与cr之间的关系。如果我们可以选择c和r，就可将流行病规模R确定在I和100%之间的任何位置。如果我们将“病毒式传播”定义为R>12，那么当>1.386时，我们会看到从I接近零开始出现病毒式传播。如果我们将c和r两个参数乘以任意正常数a，那么S（at）、I（at）、R（at）也可以满足上述三个方程式。

无论c或r处于什么水平，cr越高，流行病规模R就会越大，如果保持cr恒定不变，那么c越高，流行病传播的速度就越快。对于起始规模极小的流行病来说，当S接近1时，cr必须大于1。流行病的发展速度可快可慢，具体取决于c和r这两个参数。如果缩放图片比例尺的话，这两者的曲线图看上去基本一样。如果我们改变cr，那就既有可能会得出流行几天并传播至95%人口的流行病，也有可能得出流行数十年并传播至95%人口的流行病，还有流行几天并仅传播至5%人口的流行病，或者持续数十年并仅传播至5%人口的流行病。但不管是哪种情况，我们都会得出驼峰形感染模式，缩放后的图形都与图A.1中的黑粗线类似。

SIR模型的变化

克马克—麦肯德里克SIR模型是流行病数学模型的起点，大半个世纪以来它已经生成了大量的文献。基本分区模型出现了不同的版本，其中有一个版本设定了免疫力的逐渐丧失，这样的话康复者又会逐渐转变为易感人群（SIRS模型）。还可以对SIR模型做出调整，设定易感者和感染者之间的接触会导致暴露者E的增加，暴露者属于第四个类别，他们日后会变成感染者（SEIR模型）。人们还对SIR模型添加了愈后产生的部分免疫力、新易感者的出生、具有极高传染性的超级传播者以及传播的地理模式等。

这些针对相应疾病的修改模型在预测流行病进程方面发挥了作用。比如，SEIR模型经过修改之后，假定暴露但并无症状的人能够长途旅行，从而解释了流感的地理蔓延。格莱斯（R.F.Grais）及合著者将该模型应用于流感数据和城际航空运输量数据之后发现，他们的模型有助于解释流感暴发的城际模式和城际时间模式。

分区模型的另一个例子是SEIHFR的随机扩展模型，其中S为易感者，E为暴露者，I为感染者，H为住院者，F为死亡但未掩埋者，R为康复者或已被掩埋者。该模型与非洲埃博拉疫情的数据相匹配，并且考虑了住院治疗和合理处置尸体等阻止疾病传染的公共举措。