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第三辑 数学（第3页）

为什么地砖一般是正方形的或

正六边形的

地砖的花色品种很多，可是，它们一般不是正方形的就是正六边形的。这是什么缘故呢?

在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面，而中间没有空隙，这就是正三角形、正方形和正六边形。因为正三角形的一个角等于60°，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360°；正方形的一个角等于90°，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上的四个角之和刚好等于360°；正六边形的一个角等于120°，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和刚好等于360°。

如果用别的正多边形，就不能达到这一要求。例如正五边形的一只角等于108°，把三个正五边形拼在一起，在公共顶点上的三个角的和是108°3＝324°，小于360°，有空隙。而空隙处又放不下第四个正五边形，因为108°4＝432°，大于360°。

六个正三角形拼在一起，虽然没有空隙，但是它不及正方形和正六边形好看。所以在艺术设计上，一般较多用正方形和正六边形的地砖。

知识点：正方形、正三角形、正六边形、地砖

为什么大奖赛评分时要去掉最高分和最低分

校园卡拉0K大奖赛正在进行，一位同学唱完后，6个评委亮出了分数（10分为满分），由小到大依次为：9．00、9．50、9．55、9．60、9．75、9．90。按评分规则，去掉最高分和最低分，将其余4个得分作平均，该同学的最后得分是9.90+9.55+9.60+9.754=9．60分。

为什么要去掉最高分和最低分呢?这是为了剔除异常值。异常值就是过高或过低的评分，通常是由于裁判疏忽，或者欣赏兴趣特别，甚至在个别情形下有意褒贬所造成的。为了减少异常值对正确评分的影响，去掉最高分和最低分是合理的。

这与数学上的中位数的概念有一定的联系。什么是中位数呢?我们还是来看上面的例子，依次排列的6个数字中，处在中间的第3个和第4个数字的平均数就是中位数，即9.55+9.602=9.575。

如果评委的人数是奇数，譬如取前5个数字，则中位数是9．55，即第3个数字。处在中位数左边的数值，只要不大于中位数，任意改变其数值，并不会改变中位数的值。同样处在中位数右边的数值，只要不小于中位数，任意改变其数值，也不会改变中位数的值。由此可知，中位数的数值不受特大及特小极端值的影响，而平均数则会受到每个数值的影响，所以，中位数有时比平均数更能反映平均水平。例如，某个班级10个同学参加某项考试，有两人旷考算0分。10个人得分依次为：0、0、65、69、70、72、78、81、85、89。则其平均数是：

0+0+65+69+70+72+78+81+85+8910=60.9

得65分的同学，其分数超过了平均数，按说属于中上水平了，其实不然。如果除去两名旷考的，他就是倒数第一名。这里，平均数没有真正反映平均水平。

那么，干脆剔除这两个异常值，按8个人平均行不行呢?当然不行。这时只有取中位数比较合适。中位数是第5名和第6名分数的平均值，即：70+722=71。超过71分是中上水平，低于71分是中下水平。这里，中位数才是真正的“中等水平”的代表。

当然，平均数也有优点，即考虑到了每个数字的作用。而去掉最高分和最低分的评分方法，正是吸收了平均数和中位数这两种方法的优点，既去除了异常值，又发挥了大多数评委的作用，是比较合理的方法。

知识点：平均数、中位数、异常性、合理

为什么在罗马数字中没有“0”

世界上每一个国家的文字都是不相同的，可是它们却有一种相同的文字，不需要经过翻译，每个人都会看得懂，这就是阿拉伯数字。0、1、2……9等，这样写起来既简单方便，又容易看懂，所以各个国家先后都采用它来计数。“0”是一个奇特的阿拉伯数字，它是在1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这10个数字中诞生得最晚的一个。世界上各国早期使用过的数学中都没有0这个字。那时，如果在记数的时候碰到了零，那就只有空上一位数字来表示。

估计是在公元6世纪，“0”就已经从东方传到罗马了。但即使如此传播到，它仍在很长的一段时间之中也没有能够传入欧洲各个国家。因为那些国家中通常使用的是罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ，而在原有的9个罗马数字中本来就不存在0。罗马教皇还自己认为用罗马数字来表示任何数字不但完全够用而且十全十美，他们甚至向外界宣布：“罗马数字是上帝发明的，从今以后不许人们再随意增加或减少一个数字。”0是被人们禁止使用的。

有一次，有一位罗马学者在手册中看到有关于0的内容介绍，他认为0对记数是很有益处的，于是便不顾罗马教皇的禁令，在自己的著作中悄悄记载了一些关于0的用法，并把一些有关0的知识以及在运算中所起到的作用暗中进行传播。

这件事被罗马教皇知道后，马上派人把他给囚禁了起来，并投入了监狱。教皇为此还大发脾气地说：“神圣的数，不可侵犯，是上帝创造出来的，决不允许0这个邪物加进来，弄污了神圣的数！”再后来这位学者就被施以酷刑，从此以后就再也不能握笔写字了。

但是，科学总是不依靠人的意志而改变，而是按它自身规律向前发展的。那些勇于保卫科学真理的数学家们经过数年刻苦艰难的探索，终于使0这个数字冲破种种阻力并得以在全国乃至世界通用了。0这个数的广泛使用甚至超过了其他任何一个数字而具备了更多独特的意义。

知识点：阿拉伯数字、科学、禁令

为什么没有最小公约数和最大公倍数

在数学里我们曾学过最大公约数以及最小公倍数，或许你会提出问题，为什么公约数要讲最大，但公倍数却又讲最小呢?是否有最小公约数和最大公倍数呢?假如有的话，为什么不讲呢?

我们首先从一个具体情况来看：

例如有正整数16和24，它们有很多公约数，就是：1、2、4、8，它们的最大公约数是8，最小公约数是1。

再看正整数15和56，它们都只有一个公约数，就是1。我们从这里能看出，任何两个正整数，总会有公约数1，且1总是它们的最小公约数（公约数总是只讲整数的）。两个或两个以上的数，它们的最小公约数既然总是1，就不必讨论了。这也就是我们不谈最小公约数的道理。但这并不是主要的道理。主要的道理在哪里呢?

我们学习数学，主要的目的是，必须要数学知识为我们服务，而不只是拿数学知识做游戏。两个正整数的最大公约数，在分数约分里是用得到的。通过约去分子分母的最大公约数，我们就能把一个分数化成最简分数。这样就相当简单了。而最小公约数1，却没有什么用处。这就是我们不研究最小公约数的原因。

那么，两个正整数是否有最大公倍数呢?例如有两个正整数16和24，它们的最小公倍数是48。显然48乘上任何整数之后依然就是16和24的公倍数。

例如48×2=96，48×3=144，48×4=192，48×1000=48000等都是16和24的公倍数。由于自然数没有最大的数，因此也就没有最大的公倍数。

实际上，在分数通分的时候，也只须用到最小公倍数。假如用较大的公倍数，还不方便。既然没有最大公倍数，也不需任何较大的公倍数，这就是我们只研究最小公倍数的原因。

知识点：公约数、自然数、通分

为什么有近似值

有的时候可能有人将问你：“你们年级有多少位同学呀?”你并不知道确切的数字，可你知道你班上有35位同学，共有4个班，因此你会说：“大概140名吧！”这时你所给出的数字便是近似值，由于你不知到底有多少位同学，所以就用近似值取代了准确值；并且你的分析也十分正确，年级中总共有143位同学，你所给出的近似值与准确值是十分接近的。近似值是相对于准确值而说的。它非常接近准确值却又绝不是准确值。而在我们的日常生活当中，近似值是广泛应用的，由于有的时候我们不需要十分严格、确切，使用近似值完全能够行得通。